Library rt.util.fixedpoint

Require Import rt.util.tactics rt.util.induction.

Section FixedPoint.

  Lemma iter_fix T (F : T → T) x k n :
    iter k F x = iter k.+1 F x →
    k ≤ n →
    iter n F x = iter n.+1 F x.

  Lemma fun_mon_iter_mon :
    ∀ (f: nat → nat) x0 x1 x2,
      x1 ≤ x2 →
      f x0 ≥ x0 →
      (∀ x1 x2, x1 ≤ x2 → f x1 ≤ f x2) →
      iter x1 f x0 ≤ iter x2 f x0.

  Lemma fun_mon_iter_mon_helper :
    ∀ T (f: T → T) (le: rel T) x0 x1,
      reflexive le →
      transitive le →
      (∀ x2, le x0 (iter x2 f x0)) →
      (∀ x1 x2, le x0 x1 → le x1 x2 → le (f x1) (f x2)) →
      le (iter x1 f x0) (iter x1.+1 f x0).

  Lemma fun_mon_iter_mon_generic :
    ∀ T (f: T → T) (le: rel T) x0 x1 x2,
      reflexive le →
      transitive le →
      x1 ≤ x2 →
      (∀ x1 x2, le x0 x1 → le x1 x2 → le (f x1) (f x2)) →
      (∀ x2 : nat, le x0 (iter x2 f x0)) →
      le (iter x1 f x0) (iter x2 f x0).

End FixedPoint.