Library rt.util.nat

Require Import rt.util.tactics rt.util.ssromega.

(* Additional lemmas about natural numbers. *)
Section NatLemmas.

  Lemma addnb (b1 b2 : bool) : (b1 + b2) != 0 = b1 || b2.

  Lemma subh1 :
    ∀ m n p,
      m ≥ n →
      m - n + p = m + p - n.

  Lemma subh2 :
    ∀ m1 m2 n1 n2,
      m1 ≥ m2 →
      n1 ≥ n2 →
      (m1 + n1) - (m2 + n2) = m1 - m2 + (n1 - n2).

  Lemma subh3 :
    ∀ m n p,
      m + p ≤ n →
      n ≥ p →
      m ≤ n - p.

  Lemma subh4:
    ∀ m n p,
      m ≤ n →
      p ≤ n →
      (m == n - p) = (p == n - m).

  Lemma addmovr:
    ∀ m n p,
      m ≥ n →
      (m - n = p ↔ m = p + n).

  Lemma addmovl:
    ∀ m n p,
      m ≥ n →
      (p = m - n ↔ p + n = m).

  Lemma ltSnm : ∀ n m, n.+1 < m → n < m.

  Lemma min_lt_same :
    ∀ x y z,
      minn x z < minn y z → x < y.

  Lemma add_subC:
    ∀ a b c,
      a ≥ c →
      b ≥c →
      a + (b - c ) = a - c + b.

  Lemma ltn_subLR:
    ∀ a b c,
      a - c < b →
      a < b + c.

End NatLemmas.