Library prosa.analysis.facts.behavior.completion


(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

Welcome to Coq 8.11.2 (June 2020)

----------------------------------------------------------------------------- *)


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Completion

In this file, we establish basic facts about job completions.
Section CompletionFacts.

Consider any job type,...
  Context {Job: JobType}.
  Context `{JobCost Job}.

...any kind of processor model,...
  Context {PState: Type}.
  Context `{ProcessorState Job PState}.

...and a given schedule.
  Variable sched: schedule PState.

Let j be any job that is to be scheduled.
  Variable j: Job.

We prove that after job j completes, it remains completed.
  Lemma completion_monotonic:
     t t',
      t t'
      completed_by sched j t
      completed_by sched j t'.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 342)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  ============================
  forall t t' : nat,
  t <= t' -> completed_by sched j t -> completed_by sched j t'

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    movet t' LE.
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 345)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  t, t' : nat
  LE : t <= t'
  ============================
  completed_by sched j t -> completed_by sched j t'

----------------------------------------------------------------------------- *)


rewrite /completed_by /serviceCOMP.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 360)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  t, t' : nat
  LE : t <= t'
  COMP : job_cost j <= service_during sched j 0 t
  ============================
  job_cost j <= service_during sched j 0 t'

----------------------------------------------------------------------------- *)


    apply leq_trans with (n := service_during sched j 0 t); auto.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 365)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  t, t' : nat
  LE : t <= t'
  COMP : job_cost j <= service_during sched j 0 t
  ============================
  service_during sched j 0 t <= service_during sched j 0 t'

----------------------------------------------------------------------------- *)


      by apply service_monotonic.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

We observe that being incomplete is the same as not having received sufficient service yet...
  Lemma less_service_than_cost_is_incomplete:
     t,
      service sched j t < job_cost j
       ~~ completed_by sched j t.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 353)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  ============================
  forall t : instant,
  service sched j t < job_cost j <-> ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    movet.
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 354)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  t : instant
  ============================
  service sched j t < job_cost j <-> ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


by split; rewrite /completed_by; [rewrite -ltnNge // | rewrite ltnNge //].

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

...which is also the same as having positive remaining cost.
  Lemma incomplete_is_positive_remaining_cost:
     t,
      ~~ completed_by sched j t
       remaining_cost sched j t > 0.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 363)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  ============================
  forall t : instant,
  ~~ completed_by sched j t <-> 0 < remaining_cost sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    movet.
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 364)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  t : instant
  ============================
  ~~ completed_by sched j t <-> 0 < remaining_cost sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


by split; rewrite /remaining_cost -less_service_than_cost_is_incomplete subn_gt0 //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

Assume that completed jobs do not execute.
Further, we note that if a job receives service at some time t, then its remaining cost at this time is positive.
  Lemma serviced_implies_positive_remaining_cost:
     t,
      service_at sched j t > 0
      remaining_cost sched j t > 0.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 376)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  ============================
  forall t : instant,
  0 < service_at sched j t -> 0 < remaining_cost sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    movet SERVICE.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 378)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  t : instant
  SERVICE : 0 < service_at sched j t
  ============================
  0 < remaining_cost sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


    rewrite -incomplete_is_positive_remaining_cost -less_service_than_cost_is_incomplete.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 400)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  t : instant
  SERVICE : 0 < service_at sched j t
  ============================
  service sched j t < job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    apply H_completed_jobs.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 401)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  t : instant
  SERVICE : 0 < service_at sched j t
  ============================
  scheduled_at sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


    by apply service_at_implies_scheduled_at.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

Consequently, if we have a have processor model where scheduled jobs necessarily receive service, we can conclude that scheduled jobs have remaining positive cost.
Assume a scheduled job always receives some positive service.
Then a scheduled job has positive remaining cost.
  Corollary scheduled_implies_positive_remaining_cost:
     t,
      scheduled_at sched j t
      remaining_cost sched j t > 0.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 387)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  ============================
  forall t : instant, scheduled_at sched j t -> 0 < remaining_cost sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    rewrite /scheduled_att SCHEDULED.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 396)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  t : instant
  SCHEDULED : scheduled_in j (sched t)
  ============================
  0 < remaining_cost sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


      by apply: serviced_implies_positive_remaining_cost; rewrite /service_at; apply: H_scheduled_implies_serviced.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

We also prove that a completed job cannot be scheduled...
  Lemma completed_implies_not_scheduled:
     t,
      completed_by sched j t
      ~~ scheduled_at sched j t.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 396)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  ============================
  forall t : instant, completed_by sched j t -> ~~ scheduled_at sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    movet COMP.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 398)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  t : instant
  COMP : completed_by sched j t
  ============================
  ~~ scheduled_at sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


    apply contra with (b := ~~ completed_by sched j t);
      last by apply /negPn.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 403)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  t : instant
  COMP : completed_by sched j t
  ============================
  scheduled_at sched j t -> ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


    moveSCHED.
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 425)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  t : instant
  COMP : completed_by sched j t
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


move: (H_completed_jobs j t SCHED).

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 426)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  t : instant
  COMP : completed_by sched j t
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  service sched j t < job_cost j -> ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


    by rewrite less_service_than_cost_is_incomplete.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

... and that a scheduled job cannot be completed.
  Lemma scheduled_implies_not_completed:
     t,
      scheduled_at sched j t
      ~~ completed_by sched j t.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 405)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  ============================
  forall t : instant, scheduled_at sched j t -> ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    movet SCHED.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 407)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


    have REMPOS := scheduled_implies_positive_remaining_cost t SCHED.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 412)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  REMPOS : 0 < remaining_cost sched j t
  ============================
  ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


    rewrite /remaining_cost subn_gt0 in REMPOS.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 441)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  REMPOS : service sched j t < job_cost j
  ============================
  ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


      by rewrite -less_service_than_cost_is_incomplete.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

End CompletionFacts.

In this section, we establish some facts that are really about service, but are also related to completion and rely on some of the above lemmas. Hence they are in this file rather than in the service facts file.
Consider any job type,...
  Context {Job: JobType}.
  Context `{JobCost Job}.

...any kind of processor model,...
  Context {PState: Type}.
  Context `{ProcessorState Job PState}.

...and a given schedule.
  Variable sched: schedule PState.

Assume that completed jobs do not execute.
Let [j] be any job that is to be scheduled.
  Variable j: Job.

Assume that a scheduled job receives exactly one time unit of service.
To begin with, we establish that the cumulative service never exceeds a job's total cost if service increases only by one at each step since completed jobs don't execute.
  Lemma service_at_most_cost:
     t,
      service sched j t job_cost j.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 344)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  ============================
  forall t : instant, service sched j t <= job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    movet.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 345)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : instant
  ============================
  service sched j t <= job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    elim: t ⇒ [|t]; first by rewrite service0.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 355)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : nat
  ============================
  service sched j t <= job_cost j -> service sched j (succn t) <= job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    rewrite -service_last_plus_before.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 376)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : nat
  ============================
  service sched j t <= job_cost j ->
  service sched j t + service_at sched j t <= job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    rewrite leq_eqVlt ⇒ /orP [/eqP EQ|LT].

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

2 subgoals (ID 455)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : nat
  EQ : service sched j t = job_cost j
  ============================
  service sched j t + service_at sched j t <= job_cost j

subgoal 2 (ID 456) is:
 service sched j t + service_at sched j t <= job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    - rewrite not_scheduled_implies_no_service;
        first by rewrite addn0 EQ.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

2 subgoals (ID 469)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : nat
  EQ : service sched j t = job_cost j
  ============================
  ~~ scheduled_at sched j t

subgoal 2 (ID 456) is:
 service sched j t + service_at sched j t <= job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


      apply completed_implies_not_scheduled ⇒ //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

2 subgoals (ID 482)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : nat
  EQ : service sched j t = job_cost j
  ============================
  completed_by sched j t

subgoal 2 (ID 456) is:
 service sched j t + service_at sched j t <= job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


      by rewrite /completed_by EQ.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 456)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : nat
  LT : service sched j t < job_cost j
  ============================
  service sched j t + service_at sched j t <= job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    - apply leq_trans with (n := service sched j t + 1);
        last by rewrite addn1.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 517)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : nat
  LT : service sched j t < job_cost j
  ============================
  service sched j t + service_at sched j t <= service sched j t + 1

----------------------------------------------------------------------------- *)


      rewrite leq_add2l.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 526)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : nat
  LT : service sched j t < job_cost j
  ============================
  service_at sched j t <= 1

----------------------------------------------------------------------------- *)


      by apply H_unit_service.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

This lets us conclude that [service] and [remaining_cost] are complements of one another.
  Lemma service_cost_invariant:
     t,
      (service sched j t) + (remaining_cost sched j t) = job_cost j.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 357)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  ============================
  forall t : instant,
  service sched j t + remaining_cost sched j t = job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    movet.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 358)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : instant
  ============================
  service sched j t + remaining_cost sched j t = job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    rewrite /remaining_cost subnKC //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 371)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : instant
  ============================
  service sched j t <= job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    by apply service_at_most_cost.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

We show that the service received by job [j] in any interval is no larger than its cost.
  Lemma cumulative_service_le_job_cost:
     t t',
      service_during sched j t t' job_cost j.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 365)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  ============================
  forall t t' : instant, service_during sched j t t' <= job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    movet t'.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 367)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t, t' : instant
  ============================
  service_during sched j t t' <= job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    case/orP: (leq_total t t') ⇒ [tt'|tt']; last by rewrite service_during_geq //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 399)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t, t' : instant
  tt' : t <= t'
  ============================
  service_during sched j t t' <= job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    apply leq_trans with (n := service sched j t'); last by apply: service_at_most_cost.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 418)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t, t' : instant
  tt' : t <= t'
  ============================
  service_during sched j t t' <= service sched j t'

----------------------------------------------------------------------------- *)


    rewrite /service.
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 430)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t, t' : instant
  tt' : t <= t'
  ============================
  service_during sched j t t' <= service_during sched j 0 t'

----------------------------------------------------------------------------- *)


rewrite -(service_during_cat sched j 0 t t') // leq_addl //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

If a job isn't complete at time [t], it can't be completed at time [t + remaining_cost j t - 1].
  Lemma job_doesnt_complete_before_remaining_cost:
     t,
      ~~ completed_by sched j t
      ~~ completed_by sched j (t + remaining_cost sched j t - 1).

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 379)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  ============================
  forall t : instant,
  ~~ completed_by sched j t ->
  ~~ completed_by sched j (t + remaining_cost sched j t - 1)

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    movet.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 380)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : instant
  ============================
  ~~ completed_by sched j t ->
  ~~ completed_by sched j (t + remaining_cost sched j t - 1)

----------------------------------------------------------------------------- *)


    rewrite incomplete_is_positive_remaining_costREMCOST.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 421)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : instant
  REMCOST : 0 < remaining_cost sched j t
  ============================
  ~~ completed_by sched j (t + remaining_cost sched j t - 1)

----------------------------------------------------------------------------- *)


    rewrite -less_service_than_cost_is_incomplete -(service_cat sched j t);
    last by rewrite -addnBA //; apply: leq_addr.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 452)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : instant
  REMCOST : 0 < remaining_cost sched j t
  ============================
  service sched j t +
  service_during sched j t (t + remaining_cost sched j t - 1) < 
  job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    apply leq_ltn_trans with (n := service sched j t + remaining_cost sched j t - 1).

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

2 subgoals (ID 497)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : instant
  REMCOST : 0 < remaining_cost sched j t
  ============================
  service sched j t +
  service_during sched j t (t + remaining_cost sched j t - 1) <=
  service sched j t + remaining_cost sched j t - 1

subgoal 2 (ID 498) is:
 service sched j t + remaining_cost sched j t - 1 < job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    - by rewrite -!addnBA //; rewrite leq_add2l; apply cumulative_service_le_delta; exact.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 498)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : instant
  REMCOST : 0 < remaining_cost sched j t
  ============================
  service sched j t + remaining_cost sched j t - 1 < job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    - rewrite service_cost_invariant // -subn_gt0 subKn //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 590)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : instant
  REMCOST : 0 < remaining_cost sched j t
  ============================
  0 < job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


      move: REMCOST.
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 614)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : instant
  ============================
  0 < remaining_cost sched j t -> 0 < job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


rewrite /remaining_cost subn_gt0SERVICE.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 626)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  t : instant
  SERVICE : service sched j t < job_cost j
  ============================
  0 < job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


        by apply leq_ltn_trans with (n := service sched j t).

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

  Section GuaranteedService.

Assume a scheduled job always receives some positive service.
Assume that jobs are not released early.
    Context `{JobArrival Job}.
    Hypothesis H_jobs_must_arrive: jobs_must_arrive_to_execute sched.

We show that if job j is scheduled, then it must be pending.
    Lemma scheduled_implies_pending:
       t,
        scheduled_at sched j t
        pending sched j t.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 395)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  H1 : JobArrival Job
  H_jobs_must_arrive : jobs_must_arrive_to_execute sched
  ============================
  forall t : instant, scheduled_at sched j t -> pending sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


    Proof.
      movet SCHED.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 397)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  H1 : JobArrival Job
  H_jobs_must_arrive : jobs_must_arrive_to_execute sched
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  pending sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


      rewrite /pending.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 404)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  H1 : JobArrival Job
  H_jobs_must_arrive : jobs_must_arrive_to_execute sched
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  has_arrived j t && ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


      apply /andP; split;
        first by apply: H_jobs_must_arrive ⇒ //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 431)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  PState : Type
  H0 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H_completed_jobs : completed_jobs_dont_execute sched
  j : Job
  H_unit_service : unit_service_proc_model PState
  H_scheduled_implies_serviced : ideal_progress_proc_model PState
  H1 : JobArrival Job
  H_jobs_must_arrive : jobs_must_arrive_to_execute sched
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


      by apply: scheduled_implies_not_completed ⇒ //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


    Qed.

  End GuaranteedService.

End ServiceAndCompletionFacts.

In this section, we establish facts that on jobs with non-zero costs that must arrive to execute.
Section PositiveCost.

Consider any type of jobs with cost and arrival-time attributes,...
  Context {Job: JobType}.
  Context `{JobCost Job}.
  Context `{JobArrival Job}.

...any kind of processor model,...
  Context {PState: Type}.
  Context `{ProcessorState Job PState}.

...and a given schedule.
  Variable sched: schedule PState.

Let [j] be any job that is to be scheduled.
  Variable j: Job.

We assume that job [j] has positive cost, from which we can infer that there always is a time in which [j] is pending, ...
  Hypothesis H_positive_cost: job_cost j > 0.

...and that jobs must arrive to execute.
Then, we prove that the job with a positive cost must be scheduled to be completed.
  Lemma completed_implies_scheduled_before:
     t,
      completed_by sched j t
       t',
        job_arrival j t' < t
         scheduled_at sched j t'.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 350)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobArrival Job
  PState : Type
  H1 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_positive_cost : 0 < job_cost j
  H_jobs_must_arrive : jobs_must_arrive_to_execute sched
  ============================
  forall t : instant,
  completed_by sched j t ->
  exists t' : nat, job_arrival j <= t' < t /\ scheduled_at sched j t'

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    rewrite /completed_by.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 357)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobArrival Job
  PState : Type
  H1 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_positive_cost : 0 < job_cost j
  H_jobs_must_arrive : jobs_must_arrive_to_execute sched
  ============================
  forall t : instant,
  job_cost j <= service sched j t ->
  exists t' : nat, job_arrival j <= t' < t /\ scheduled_at sched j t'

----------------------------------------------------------------------------- *)


    movet COMPLETE.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 359)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobArrival Job
  PState : Type
  H1 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_positive_cost : 0 < job_cost j
  H_jobs_must_arrive : jobs_must_arrive_to_execute sched
  t : instant
  COMPLETE : job_cost j <= service sched j t
  ============================
  exists t' : nat, job_arrival j <= t' < t /\ scheduled_at sched j t'

----------------------------------------------------------------------------- *)


    have POSITIVE_SERVICE: 0 < service sched j t
      by apply leq_trans with (n := job_cost j); auto.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 369)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobArrival Job
  PState : Type
  H1 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_positive_cost : 0 < job_cost j
  H_jobs_must_arrive : jobs_must_arrive_to_execute sched
  t : instant
  COMPLETE : job_cost j <= service sched j t
  POSITIVE_SERVICE : 0 < service sched j t
  ============================
  exists t' : nat, job_arrival j <= t' < t /\ scheduled_at sched j t'

----------------------------------------------------------------------------- *)


      by apply: positive_service_implies_scheduled_since_arrival; assumption.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

We also prove that the job is pending at the moment of its arrival.
  Lemma job_pending_at_arrival:
    pending sched j (job_arrival j).

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 358)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobArrival Job
  PState : Type
  H1 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_positive_cost : 0 < job_cost j
  H_jobs_must_arrive : jobs_must_arrive_to_execute sched
  ============================
  pending sched j (job_arrival j)

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    rewrite /pending.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 365)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobArrival Job
  PState : Type
  H1 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_positive_cost : 0 < job_cost j
  H_jobs_must_arrive : jobs_must_arrive_to_execute sched
  ============================
  has_arrived j (job_arrival j) && ~~ completed_by sched j (job_arrival j)

----------------------------------------------------------------------------- *)


    apply/andP; split;
    first by rewrite /has_arrived //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 392)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobArrival Job
  PState : Type
  H1 : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  j : Job
  H_positive_cost : 0 < job_cost j
  H_jobs_must_arrive : jobs_must_arrive_to_execute sched
  ============================
  ~~ completed_by sched j (job_arrival j)

----------------------------------------------------------------------------- *)


    rewrite /completed_by no_service_before_arrival // -ltnNge //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

End PositiveCost.

Section CompletedJobs.

Consider any kinds of jobs and any kind of processor state.
  Context {Job : JobType} {PState : Type}.
  Context `{ProcessorState Job PState}.

Consider any schedule...
  Variable sched : schedule PState.

...and suppose that jobs have a cost, an arrival time, and a notion of readiness.
  Context `{JobCost Job}.
  Context `{JobArrival Job}.
  Context `{JobReady Job PState}.

We observe that a given job is ready only if it is also incomplete...
  Lemma ready_implies_incomplete:
     j t, job_ready sched j t ~~ completed_by sched j t.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 349)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  ============================
  forall (j : Job) (t : instant),
  job_ready sched j t -> ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    movej t READY.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 352)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  j : Job
  t : instant
  READY : job_ready sched j t
  ============================
  ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


    move: (any_ready_job_is_pending sched j t READY).

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 359)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  j : Job
  t : instant
  READY : job_ready sched j t
  ============================
  pending sched j t -> ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


    by rewrite /pending ⇒ /andP [_ INCOMPLETE].

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

...and lift this observation also to the level of whole schedules.
  Lemma completed_jobs_are_not_ready:
    jobs_must_be_ready_to_execute sched
    completed_jobs_dont_execute sched.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 360)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  ============================
  jobs_must_be_ready_to_execute sched -> completed_jobs_dont_execute sched

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    rewrite /jobs_must_be_ready_to_execute /completed_jobs_dont_execute.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 370)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  ============================
  (forall (j : Job) (t : instant),
   scheduled_at sched j t -> job_ready sched j t) ->
  forall (j : Job) (t : instant),
  scheduled_at sched j t -> service sched j t < job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    moveREADY_IF_SCHED j t SCHED.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 374)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  READY_IF_SCHED : forall (j : Job) (t : instant),
                   scheduled_at sched j t -> job_ready sched j t
  j : Job
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  service sched j t < job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    move: (READY_IF_SCHED j t SCHED) ⇒ READY.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 376)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  READY_IF_SCHED : forall (j : Job) (t : instant),
                   scheduled_at sched j t -> job_ready sched j t
  j : Job
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  READY : job_ready sched j t
  ============================
  service sched j t < job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    rewrite less_service_than_cost_is_incomplete.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 396)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  READY_IF_SCHED : forall (j : Job) (t : instant),
                   scheduled_at sched j t -> job_ready sched j t
  j : Job
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  READY : job_ready sched j t
  ============================
  ~~ completed_by sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)


    by apply ready_implies_incomplete.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

We further observe that completed jobs don't execute if scheduled jobs always receive non-zero service and cumulative service never exceeds job costs.
  Lemma ideal_progress_completed_jobs:
    ideal_progress_proc_model PState
    ( j t, service sched j t job_cost j)
    completed_jobs_dont_execute sched.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 376)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  ============================
  ideal_progress_proc_model PState ->
  (forall (j : Job) (t : instant), service sched j t <= job_cost j) ->
  completed_jobs_dont_execute sched

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Proof.
    moveIDEAL SERVICE_BOUND j t SCHED.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 382)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  IDEAL : ideal_progress_proc_model PState
  SERVICE_BOUND : forall (j : Job) (t : instant),
                  service sched j t <= job_cost j
  j : Job
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  service sched j t < job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    have UB := SERVICE_BOUND j t.+1.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 387)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  IDEAL : ideal_progress_proc_model PState
  SERVICE_BOUND : forall (j : Job) (t : instant),
                  service sched j t <= job_cost j
  j : Job
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  UB : service sched j (succn t) <= job_cost j
  ============================
  service sched j t < job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    have POS := IDEAL _ _ SCHED.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 396)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  IDEAL : ideal_progress_proc_model PState
  SERVICE_BOUND : forall (j : Job) (t : instant),
                  service sched j t <= job_cost j
  j : Job
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  UB : service sched j (succn t) <= job_cost j
  POS : 0 < service_in j (sched t)
  ============================
  service sched j t < job_cost j

----------------------------------------------------------------------------- *)


    apply ltn_leq_trans with (n := service sched j t.+1) ⇒ //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 400)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  IDEAL : ideal_progress_proc_model PState
  SERVICE_BOUND : forall (j : Job) (t : instant),
                  service sched j t <= job_cost j
  j : Job
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  UB : service sched j (succn t) <= job_cost j
  POS : 0 < service_in j (sched t)
  ============================
  service sched j t < service sched j (succn t)

----------------------------------------------------------------------------- *)


    rewrite -service_last_plus_before /service_at.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 441)
  
  Job : JobType
  PState : Type
  H : ProcessorState Job PState
  sched : schedule PState
  H0 : JobCost Job
  H1 : JobArrival Job
  H2 : ProcessorState Job PState
  H3 : JobCost Job
  H4 : JobArrival Job
  H5 : JobReady Job PState
  IDEAL : ideal_progress_proc_model PState
  SERVICE_BOUND : forall (j : Job) (t : instant),
                  service sched j t <= job_cost j
  j : Job
  t : instant
  SCHED : scheduled_at sched j t
  UB : service sched j (succn t) <= job_cost j
  POS : 0 < service_in j (sched t)
  ============================
  service sched j t < service sched j t + service_in j (sched t)

----------------------------------------------------------------------------- *)


    by rewrite -{1}(addn0 (service sched j t)) ltn_add2l.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)


  Qed.

End CompletedJobs.