Library prosa.analysis.facts.edf_definitions


(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

Welcome to Coq 8.13.0 (January 2021)

----------------------------------------------------------------------------- *)

Require Export prosa.analysis.facts.model.ideal_schedule.
Require Export prosa.analysis.facts.behavior.deadlines.
Require Export prosa.analysis.definitions.schedulability.
Require Export prosa.model.priority.edf.
Require Export prosa.model.schedule.edf.
Require Export prosa.model.schedule.priority_driven.

Equivalence of EDF Definitions

Recall that we have defined "EDF schedules" in two ways.
The generic way to define an EDF schedule is by using the EDF priority policy defined in [model.priority.edf] and the general notion of priority-compliant schedules defined in [model.schedule.priority_driven].
Another, more straight-forward way to define an EDF schedule is the standalone definition given in [model.schedule.edf], which is less general but simpler and used in the EDF optimality proof.
In this file, we show that both definitions are equivalent assuming:
(1) ideal uniprocessor schedules, ...
Require Import prosa.model.processor.ideal.

... (2) the classic Liu & Layland model of readiness without jitter and without self-suspensions, where pending jobs are always ready, and ...
Require Import prosa.model.readiness.basic.

... (3) that jobs are fully preemptive.
Require Import prosa.model.preemption.fully_preemptive.

Section Equivalence.

For any given type of jobs, each characterized by an arrival time, an execution cost, and an absolute deadline, ...
  Context {Job : JobType} `{JobCost Job} `{JobDeadline Job} `{JobArrival Job}.

...consider a given valid job arrival sequence ...
  Variable arr_seq: arrival_sequence Job.
  Hypothesis H_arr_seq_valid: valid_arrival_sequence arr_seq.

...and a corresponding schedule.
  Variable sched : schedule (ideal.processor_state Job).

Suppose jobs don't execute after their completion, ...
  Hypothesis H_completed_jobs_dont_execute: completed_jobs_dont_execute sched.

...all jobs come from the arrival sequence [arr_seq], ...
  Hypothesis H_from_arr_seq: jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq.

...and jobs from [arr_seq] don't miss their deadlines.
  Hypothesis H_no_deadline_misses: all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched.

We first show that a schedule that satisfies the standalone [EDF_schedule] predicate is also compliant with the generic notion of EDF policy defined in Prosa, namely the [respects_policy_at_preemption_point] predicate.
  Lemma EDF_schedule_implies_respects_policy_at_preemption_point :
    EDF_schedule sched →
    respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 48)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  ============================
  EDF_schedule sched -> respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched

----------------------------------------------------------------------------- *)

  Proof.
    move⇒ EDF j' j t ARR PREEMPTION BL SCHED.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 57)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  EDF : EDF_schedule sched
  j', j : Job
  t : instant
  ARR : arrives_in arr_seq j'
  PREEMPTION : preemption_time sched t
  BL : backlogged sched j' t
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  hep_job_at t j j'

----------------------------------------------------------------------------- *)

    have suff: ∃ t' : nat, t ≤ t' < job_deadline j' ∧ scheduled_at sched j' t'.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

2 subgoals (ID 64)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  EDF : EDF_schedule sched
  j', j : Job
  t : instant
  ARR : arrives_in arr_seq j'
  PREEMPTION : preemption_time sched t
  BL : backlogged sched j' t
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  (exists t' : nat, t <= t' < job_deadline j' /\ scheduled_at sched j' t') ->
  hep_job_at t j j'

subgoal 2 (ID 65) is:
 ((exists t' : nat, t <= t' < job_deadline j' /\ scheduled_at sched j' t') ->
  hep_job_at t j j') -> hep_job_at t j j'

----------------------------------------------------------------------------- *)

    {
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 64)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  EDF : EDF_schedule sched
  j', j : Job
  t : instant
  ARR : arrives_in arr_seq j'
  PREEMPTION : preemption_time sched t
  BL : backlogged sched j' t
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  (exists t' : nat, t <= t' < job_deadline j' /\ scheduled_at sched j' t') ->
  hep_job_at t j j'

----------------------------------------------------------------------------- *)

move⇒ [t' [/andP [LE _] SCHED']].

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 124)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  EDF : EDF_schedule sched
  j', j : Job
  t : instant
  ARR : arrives_in arr_seq j'
  PREEMPTION : preemption_time sched t
  BL : backlogged sched j' t
  SCHED : scheduled_at sched j t
  t' : nat
  LE : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j' t'
  ============================
  hep_job_at t j j'

----------------------------------------------------------------------------- *)

      apply: (EDF t); [done | exact LE | exact SCHED' |].

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 focused subgoal
(shelved: 1) (ID 163)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  EDF : EDF_schedule sched
  j', j : Job
  t : instant
  ARR : arrives_in arr_seq j'
  PREEMPTION : preemption_time sched t
  BL : backlogged sched j' t
  SCHED : scheduled_at sched j t
  t' : nat
  LE : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j' t'
  ============================
  job_arrival j' <= t

----------------------------------------------------------------------------- *)

      by apply: (backlogged_implies_arrived sched j' t).
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal

subgoal 1 (ID 65) is:
 ((exists t' : nat, t <= t' < job_deadline j' /\ scheduled_at sched j' t') ->
  hep_job_at t j j') -> hep_job_at t j j'

----------------------------------------------------------------------------- *)

}

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 65)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  EDF : EDF_schedule sched
  j', j : Job
  t : instant
  ARR : arrives_in arr_seq j'
  PREEMPTION : preemption_time sched t
  BL : backlogged sched j' t
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  ((exists t' : nat, t <= t' < job_deadline j' /\ scheduled_at sched j' t') ->
   hep_job_at t j j') -> hep_job_at t j j'

----------------------------------------------------------------------------- *)

    apply; apply: incomplete_implies_scheduled_later;
      first by apply: H_no_deadline_misses ⇒ //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 focused subgoal
(shelved: 1) (ID 250)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  EDF : EDF_schedule sched
  j', j : Job
  t : instant
  ARR : arrives_in arr_seq j'
  PREEMPTION : preemption_time sched t
  BL : backlogged sched j' t
  SCHED : scheduled_at sched j t
  ============================
  ~~ completed_by sched j' t

----------------------------------------------------------------------------- *)

    by apply: (backlogged_implies_incomplete sched j' t).

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)

  Qed.

Conversely, the reverse direction also holds: a schedule that satisfies the [respects_policy_at_preemption_point] predicate is also an EDF schedule in the sense of [EDF_schedule].
  Lemma respects_policy_at_preemption_point_implies_EDF_schedule :
    respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched →
    EDF_schedule sched.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 64)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  ============================
  respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched -> EDF_schedule sched

----------------------------------------------------------------------------- *)

  Proof.
    move⇒ H_priority_driven t j_hp SCHED t' j LEQ SCHED' EARLIER_ARR.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 75)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  ============================
  job_deadline j_hp <= job_deadline j

----------------------------------------------------------------------------- *)

    case (boolP (j == j_hp)); first by move /eqP ⇒ EQ; subst.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 81)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  ============================
  j != j_hp -> job_deadline j_hp <= job_deadline j

----------------------------------------------------------------------------- *)

    move /neqP ⇒ NEQ.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 154)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  ============================
  job_deadline j_hp <= job_deadline j

----------------------------------------------------------------------------- *)

    exploit (H_priority_driven j j_hp t) ⇒ //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

3 subgoals (ID 496)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  ============================
  arrives_in arr_seq j

subgoal 2 (ID 497) is:
 preemption_time sched t
subgoal 3 (ID 498) is:
 backlogged sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)

    {
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 496)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  ============================
  arrives_in arr_seq j

----------------------------------------------------------------------------- *)

by apply (H_from_arr_seq _ _ SCHED').
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

2 subgoals

subgoal 1 (ID 497) is:
 preemption_time sched t
subgoal 2 (ID 498) is:
 backlogged sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)

}

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

2 subgoals (ID 497)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  ============================
  preemption_time sched t

subgoal 2 (ID 498) is:
 backlogged sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)

    {
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 497)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  ============================
  preemption_time sched t

----------------------------------------------------------------------------- *)

by rewrite /preemption_time; destruct (sched t).
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal

subgoal 1 (ID 498) is:
 backlogged sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)

}

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 498)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  ============================
  backlogged sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)

    {
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 498)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  ============================
  backlogged sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)

apply /andP; split ⇒ //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

2 subgoals (ID 616)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  ============================
  job_ready sched j t

subgoal 2 (ID 617) is:
 ~~ scheduled_at sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)

      - apply /andP; split ⇒ //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

2 subgoals (ID 688)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  ============================
  ~~ completed_by sched j t

subgoal 2 (ID 617) is:
 ~~ scheduled_at sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)

        apply (incompletion_monotonic _ j _ _ LEQ).

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

2 subgoals (ID 721)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  ============================
  ~~ completed_by sched j t'

subgoal 2 (ID 617) is:
 ~~ scheduled_at sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)

        apply scheduled_implies_not_completed ⇒ //.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

2 subgoals (ID 727)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  ============================
  ideal_progress_proc_model (processor_state Job)

subgoal 2 (ID 617) is:
 ~~ scheduled_at sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)

        by apply ideal_proc_model_ensures_ideal_progress.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 617)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  ============================
  ~~ scheduled_at sched j t

----------------------------------------------------------------------------- *)

      - apply /negP; move ⇒ SCHED''.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 776)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  H_priority_driven : respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched
  t : instant
  j_hp : Job
  SCHED : scheduled_at sched j_hp t
  t' : instant
  j : Job
  LEQ : t <= t'
  SCHED' : scheduled_at sched j t'
  EARLIER_ARR : job_arrival j <= t
  NEQ : j <> j_hp
  SCHED'' : scheduled_at sched j t
  ============================
  False

----------------------------------------------------------------------------- *)

        by exploit (ideal_proc_model_is_a_uniprocessor_model j j_hp sched t).
(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)

}

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)

  Qed.

From the two preceding lemmas, it follows immediately that the two EDF definitions are indeed equivalent, which we note with the following corollary.
  Corollary EDF_schedule_equiv:
    EDF_schedule sched ↔ respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 80)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  ============================
  EDF_schedule sched <-> respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched

----------------------------------------------------------------------------- *)

  Proof.
    split.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

2 subgoals (ID 82)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  ============================
  EDF_schedule sched -> respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched

subgoal 2 (ID 83) is:
 respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched -> EDF_schedule sched

----------------------------------------------------------------------------- *)

    - by apply EDF_schedule_implies_respects_policy_at_preemption_point.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

1 subgoal (ID 83)
  
  Job : JobType
  H : JobCost Job
  H0 : JobDeadline Job
  H1 : JobArrival Job
  arr_seq : arrival_sequence Job
  H_arr_seq_valid : valid_arrival_sequence arr_seq
  sched : schedule (processor_state Job)
  H_completed_jobs_dont_execute : completed_jobs_dont_execute sched
  H_from_arr_seq : jobs_come_from_arrival_sequence sched arr_seq
  H_no_deadline_misses : all_deadlines_of_arrivals_met arr_seq sched
  ============================
  respects_policy_at_preemption_point arr_seq sched -> EDF_schedule sched

----------------------------------------------------------------------------- *)

    - by apply respects_policy_at_preemption_point_implies_EDF_schedule.

(* ----------------------------------[ coqtop ]---------------------------------

No more subgoals.

----------------------------------------------------------------------------- *)

  Qed.

End Equivalence.