Library rt.util.bigord

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(* Lemmas about big operators over Ordinals that use Ordinal functions.
   There is no support for them in ssreflect. *)
Section BigOrdFunOrd.

  Definition fun_ord_to_nat {n} {T} (x0: T) (f: 'I_n → T) : nat → T.
  (* if x < n, apply the function f in the (Ordinal x: 'I_n), else return default x0. *)
  Defined.

  Lemma eq_fun_ord_to_nat :
    ∀ n {T: Type} x0 (f: 'I_n → T) (x: 'I_n),
      (fun_ord_to_nat x0 f) x = f x.

  Lemma eq_bigr_ord T n op idx r (P : pred 'I_n)
                    (F1: nat → T) (F2: 'I_n → T) :
    (∀ i, P i → F1 i = F2 i) →
    \big[op/idx]_(i <- r | P i) F1 i = \big[op/idx]_(i <- r | P i) F2 i.

  Lemma big_mkord_ord {T} {n} {op} {idx} x0 (P : pred 'I_n) (F: 'I_n → T) :
    \big[op/idx]_(i < n | P i) F i =
      \big[op/idx]_(i < n | P i) (fun_ord_to_nat x0 F) i.

End BigOrdFunOrd.