Library prosa.util.nat

Require Export prosa.util.tactics prosa.util.ssromega.
From mathcomp Require Import ssreflect ssrbool eqtype ssrnat seq fintype bigop div.

(* Additional lemmas about natural numbers. *)
Section NatLemmas.

  Lemma subh1 :
     m n p,
      m n
      m - n + p = m + p - n.
  Proof. by ins; ssromega. Qed.

  Lemma subh2 :
     m1 m2 n1 n2,
      m1 m2
      n1 n2
      (m1 + n1) - (m2 + n2) = m1 - m2 + (n1 - n2).
  Proof. by ins; ssromega. Qed.

  Lemma subh3:
     m n p,
      m + p n
      m n - p.
    rewrite <- leq_add2r with (p := p).
    rewrite subh1 //.
    - by rewrite -addnBA // subnn addn0.
    - by apply leq_trans with (m+p); first rewrite leq_addl.

  (* Simplify n + a - b + b - a = n if n b. *)
  Lemma subn_abba:
     n a b,
      n b
      n + a - b + b - a = n.
    moven a b le_bn.
    rewrite subnK;
      first by rewrite -addnBA // subnn addn0 //.
    rewrite -[b]addn0.
    apply leq_trans with (n := n + 0); rewrite !addn0 //.
    apply leq_addr.

  Lemma add_subC:
     a b c,
      a c
      b c
      a + (b - c ) = a - c + b.
    intros× AgeC BgeC.
    induction b;induction c;intros;try ssromega.

  Lemma ltn_subLR:
     a b c,
      a - c < b
      a < b + c.
    intros× AC. ssromega.

  (* We can drop additive terms on the lesser side of an inequality. *)
  Lemma leq_addk:
     m n k,
      n + k m
      n m.
    movem n p.
    apply leq_trans.
    by apply leq_addr.

End NatLemmas.

Section Interval.

  (* Trivially, points before the start of an interval, or past the end of an
     interval, are not included in the interval. *)

  Lemma point_not_in_interval:
     t1 t2 t',
      t2 t' t' < t1
        t1 t < t2
         t t'.
    movet1 t2 t' EXCLUDED t /andP [GEQ_t1 LT_t2] EQ.
    case EXCLUDED ⇒ [INEQ | INEQ];
      eapply leq_ltn_trans in INEQ; eauto;
      by rewrite ltnn in INEQ.

End Interval.

Section NatOrderLemmas.

  (* Mimic the way implicit arguments are used in ssreflect. *)
  Set Implicit Arguments.
  Unset Strict Implicit.

  (* ltn_leq_trans: Establish that m < p if m < n and n p, to mirror the
     lemma leq_ltn_trans in ssrnat.

     NB: There is a good reason for this lemma to be "missing" in ssrnat --
     since m < n is defined as m.+1 nltn_leq_trans is just
     m.+1 n n p m.+1 p, that is @leq_trans n m.+1 p.

     Nonetheless we introduce it here because an additional (even though
     arguably redundant) lemma doesn't hurt, and for newcomers the apparent
     absence of the mirror case of leq_ltn_trans can be somewhat confusing.  *)

  Lemma ltn_leq_trans n m p : m < n n p m < p.
  Proof. exact (@leq_trans n m.+1 p). Qed.

End NatOrderLemmas.